Lecture 07 & Reading 3.2 求解Ax=0：主变量，特解 Ux=0, Rx=0

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turning the idea of the definition into an algorithm -- 求解Ax=0的算法 -- 求零空间

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{matrix}]

仍然是消元法

A = [\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \end{matrix}] = [\begin{matrix} \underset{―}{1} & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & \underset{―}{2} & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

方法仍然是选取pivot(主元, 标下划线了) 做行变换最后得到一个行阶梯矩阵U

主元的数量 -- the most important number about this matrix -- the rank of matrix矩阵的秩

主元所在的列叫做pivot columns, 其余的列叫做free columns

在这个例子中，U的column 1, column 3为pivot columns(主元列), column 2, column 4为free columns(自由列)，所谓自由，是因为可以自由或任意分配数值

事实上，上面U所代表的方程组是

\begin{array}{r} x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{2} + 2 x_{2} = 0 \\ 2 x_{3} + 4 x_{4} = 0 \end{array}

当自由列决定了，也就意味着代入也就决定了主元列

比如，可以去自由列中的自由变量 $x_{2} = 1$ , $x_{4} = 0$ , 这样就能得到一个解 $[\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$ ，这个解其实很简单就能验证，因为A中第二列是第一列的两倍

而这就是Ax=0的一个零空间，想要得到零空间中的更多向量，显然可以将这个向量乘以一个常数c，即 $c [\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}]$ , 这表示了四维空间中的一条直线

但这并不是零空间中的所有向量，因为自由变量有两个

x2, x4可以取1,0 这是自由，但是也可以取0,1 , 这样可以得到一个解 $[\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}]$

事实上这两个向量的线性组合就是整个零空间. 即 $c_{1} [\begin{matrix} - 2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] + c_{2} [\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}]$

而这两个解叫做特解，教授叫特解，其实就是特定的解，我们好像一般叫基础解系。因为里面的x2, x4是取的特定的值，通常我们是轮着选取其中一个为1，其余为0

有多少个特解？有多少个自由列就有多少个特解，那有多少自由列呢？事实上是列数-r，这个数我们成为自由度

为什么有多少自由列就有多少特解？其实这个问题就是为什么自由列能决定解空间的维度，是因为解空间的维度是在满足所有方程结束后, 剩余的可自由移动的方向数量，自由变量定义了自由度，每个自由变量可以独立赋值，而每一种赋值就代表了解空间中的一种“移动方向”，而主变量是被决定的，他们的方向是取决于方程组和自由变量的选择的

？还是不懂

为了让矩阵更干净，可以化简为最简行阶梯R rref -- 向上消元 -- zero above and below the privots, and simplify it. -- 包含所有信息的最简形式 -- privot columns, free columns, 单位阵, ...

上面问题的答案可能是下面这个解释吧

A x = R N = [\begin{matrix} I & F \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x_{p i v o t} \\ x_{f r e e} \end{matrix}] = 0

所以有

x_{p i v o t} + F x_{f r e e} = 0

令自由变量为I，则有 $x_{p i v o t} = - F$

N = [\begin{matrix} - F \\ I \end{matrix}]

所以事实上I的维度就是自由度的个数